已知单位向量e1与e2的夹角为60°,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a与b的夹角α.

已知单位向量e₁与e₂的夹角为60°,且a=2e₁+e₂,b=-3e₁+2e₂,求a·b及a与b的夹角α.

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解析:∵e₁、e₂是夹角为60°的单位向量,

∴e₁·e₂=|e₁||e₂|cos60°=.

∴a·b=(2e₁+e₂)·(-3e₁+2e₂)

=-6e₁²+e₁·e₂+2e₂²

=-6|e₁|²+e₁·e₂+2|e₂|²

=-

又∵|a|²=|2e₁+e₂|²=(2e₁+e₂)²=4e₁²+4e₁·e₂+e₂²=7,

|b|²=b²=(-3e₁+2e₂)²=9e₁²-12e₁·e₂+4e₂²=7,

∴|a|=,|b|=.

∴cosα===-.

∴α=120°.

综上所述,a·b=-,α=120°.

点评:由于e₁与e₂夹角为60°,模为1,故可求e₁·e₂以及e₁²、e₂²,再利用模的公式,可以求出|a|与|b|,然后逆用数量积公式,解出夹角α.