拿破仑·波拿巴（napoleon,1769-1821)，大家应该非常熟悉，可是知道吗，他在数学上也颇有建树。
　　下面要说的拿破仑三角形，曾经令拉普拉斯敬佩不已。

定义
　　这个三角形是这样的：

　●在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。如图中的△def就是△abc的外拿破仑三角形。
　●在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“内拿破仑三角形”。

证明
这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：

证明：

如图，分别以△abc的边bc、ac、ab为等边三角形边长，向△abc外作等边三角形（△bcc'、△aca'、△abb'），设这三个三角形的中心分别为d，e，f，
则：∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°

以点a为圆心，以af长为半径作弧；以点e为圆心，以dc长为半径作弧。设两弧在多边形afbdce内交于点g。则ag=af，ge=dc。
连接gf、ga、ge，de、df、ef。

∵△abf、△bcd、△ace都是底角为30°的等腰三角形（即∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30°）
∴△abf∽△bcd∽△ace，
∴af/ab=ae/ac=dc/bc
又∵ag=af，ge=dc
∴ag/ab=ae/ac=ge/bc
∴△age∽△abc
∴∠gae=∠bac
∴∠fag=∠eaf-∠gae=∠eaf-∠bac=∠fab+∠eac=60°
又∵ag=af
∴△agf为等边三角形
∴ag=af，∠agf=60°

∵△age∽△abc
∴∠age=∠abc
又∵∠fbd=∠abc+∠fba+∠dbc=∠abc+60°
∠fge=∠age+∠agf=∠age+60°
∴∠fbd=∠fge

∵在△fbd和△fge中，
fb=fg，∠fbd=∠fge，bd=ge
∴△fbd≌△fge(sas)
∴fd=fe

同理，fd=de

∵fd=de=fe
∴△def为等边三角形
即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）


证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同，有兴趣的话可以自己试试。