公元1858年，德国数学家莫比乌斯(mobius，1790～1868)发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。因为，普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。明尼苏达大学的研究人员道格拉斯·阿诺德和乔纳珊·罗格尼斯制作的录像地“莫比乌斯变换”这一深奥而有趣的现象进行了深入浅出的描述。

在几何学里,一个莫比乌斯变换被定义为方程.<math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
其中z,a,b,c,d为复数且满足ad−bc≠0.
一次莫比乌斯变换也可以被分解为以下步骤:把平面射影到球体,把球体进行旋转,位移等任何变换,然后把它射影回平面上.莫比乌斯变换是以数学家奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯命名的,它也被叫做homographictransformations或fractionallineartransformations.