·矩阵的转置和对称矩阵
·特性
·数据结构中的对称矩阵
·有关对称矩阵的数学史
定义 元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。
矩阵的转置和对称矩阵 把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为a的转置矩阵,记为a'即
【矩阵转置的运算律】(即性质):
1.(a')'=a
2.(a+b)'=a'+b'
3.(ka)'=ka'(k为实数)
4.(ab)'=b'a'
若矩阵a满足条件a=a',则称a为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
特性
1.对于任何方形矩阵x，x+xt是对称矩阵。
2.a为方形矩阵是a为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用<,>表示rn上的内积。的实矩阵a是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵x，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：x=1/2(x+xt)+1/2(x?xt)
每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵a的每个元素均为实数，a是hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果x是对称矩阵,那幺axat也是对称矩阵.
数据结构中的对称矩阵 1．对称矩阵
（1）对称矩阵
在一个n阶方阵a中，若元素满足下述性质：
aij=aji0≤i，j≤n-1
则称a为对称矩阵。
（2）对称矩阵的压缩存
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素
即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)／2）。
其中：
sa[0]=a00,
sa[1]=a10,
……，
sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1
②元素aij的存放位置
aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：
1+2+…+i=i×(i+1)／2个元素；
在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：
sa[i×(i+1)／2+j]=aij
③aij和sa[k]之间的对应关系：
若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2
若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k<n(n+1)／2
令i=max(i，j)，j=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：
k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2
（3）对称矩阵的地址计算公式
loc(aij)=loc(sa[k])
=loc(sa[0])+k×d=loc(sa[0])+[i×(i+1)／2+j]×d
通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为
k=i×(i+1)／2+j=2×(2+1)／2+1=4
有关对称矩阵的数学史 1855年，埃米特(c.hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(a.clebsch,1831-1872)、布克海姆(a.buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(h.taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。