倍立方问题传说中，这问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了西腊第罗斯岛(delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接著人们又试著把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗?结果，……但是，柏氏门徒当时倒有两件差点成功的作法：注：『求体积是稜长a的立方体的2倍的立方体』，这问题可以转化为『求在a与2a之间插入二数x,y,使a,x,y,2a成等比数列』即a：x＝x：y＝y：2a故x2＝ay,y2＝2ax,xy＝2a2从而x3＝a(xy)＝a(2a2),故x3＝2a3则稜长x的立方体即为所求。1.已知：线段a求作：对角线互相垂直的直角梯形abcd，使得,(则)作法：1.作互相垂直的线m,线n,交点为o2.在m上取，在n上取*3.取二曲尺，使一曲尺通过c点，且顶点在n上，另一曲尺通过d点，且顶点在m上，且二尺的另一边互相密合，如此，便分别在m,n上产生a,b点，则四边形abcd之即为所求讨论：应用原理为a：x＝x：y＝y：2a2.已知：线段a求作：线段x,y，使得a：x＝x：y＝y：2a作法：1.作互相平形且距离为2a的直线m,n*2.在m,n之间，夹著三个全等的直角三角板，使他们的一个直角边与m密合，相对顶点在n上*3.固定最左边的一个三角尺，且在最右边的一个三角尺股上取*4.滑动右边及中间的三角尺，使每个三角尺的斜边与相邻三角尺股交点(r及s)与e,q共线，则即为所求3.[以下是西元前350年希腊数学家梅内克缪斯menaechmus)的作法]已知：线段a求作：线段x,y，使得a：x＝x：y＝y：2a作法：*1.作抛物线[其中顶点(0,0)，对称轴y轴，过(a,a)]*2.作抛物线[其中顶点(0,0)，对称轴x轴，过(,a)]¸二抛物线交於p点3.过p作，则即为所求4.[西元前150年戴可利斯(diocles)发明一种蔓叶线(cissoid),此为三次曲线，它可解倍立方问题作法：1.是圆o内互相垂直的直径2.e点在弧bc上，q点在弧bd上，并满足*3.作於h，交於p，(p点的轨迹就是蔓叶线)4.则讨论：应用原理为a：x＝x：y＝y：2a