正多面体
所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的。

　　正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

　　古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体。

类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数
正4面体46433
正6面体612843
正8面体812634
正12面体12302053
正20面体20301235

证明
顶点数v，面数f，棱数e
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数e应是面数f与n的积的一半（每两面共用一条棱），即
nf=2e--------------①
同时，e应是顶点数v与m的积的一半，即
mv=2e--------------②
由①、②，得
f=2e/n,v=2e/m,
代入欧拉公式v+f-e=2，
有
2e/m+2e/n-e=2
整理后，得1/m+1/n=1/2+1/e.
由于e是正整数，所以1/e>0。因此
1/m+1/n>1/2--------------③
说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3
当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5
同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：
nm类型
33正四面体
43正六面体
34正八面体
53正十二面体
35正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种