复变函数论的核心定理。它讨论一个区域d上的复函数在什么条件下在d上积分与路径无关，最简单的柯西积分定理的形式为：当d是单连通区域，而f（z）是d上的解析函数时，以下3个互相等价的结论成立：①f（z）在d内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f（z）在d内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f（z）在d上有原函数。如果在连续函数类中讨论，则以上定理还是可逆的。柯西定理有以下常用的变化的形式：①d是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域，记l＝d，f（z）在d上解析，在image:柯西积分定理1.在dul上连续，则必有
②在上述条件下，若l＝l0＋…＋l即d由l0，，…，l所围成，

　　作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续，在d内解析的充要条件是。
。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数，从而证明了a.-l.柯西与k.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积分定理已推广到沿同伦曲线或沿同调链积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.