在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。
因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。
定义
双曲函数（hyperbolicfunction）包括下列六种函数：
sinh/双曲正弦：sinh(x)=[e^x-e^(-x)]/2
cosh/双曲余弦：cosh(x)=[e^x+e^(-x)]/2
tanh/双曲正切：tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)=[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]
coth/双曲余切：coth(x)=cosh(x)/sinh(x)=[e^x+e^(-x)]/[e^(x)-e^(-x)]
sech/双曲正割：sech(x)=1/cosh(x)=2/[e^x+e^(-x)]
csch/双曲余割：csch(x)=1/sinh(x)=2/[e^x-e^(-x)]
其中，
e是自然对数的底
e≈2.718281828459045...=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!...+1/n!+...
e^x表示e的x次幂,展开成无穷幂级数是:
e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!...+x^n/n!+...
如同点(cost,sint)定义一个圆，点(cosht,sinht)定义了右半直角双曲线x^2−y^2=1。这基于了很容易验证的恒等式
cosh^2(t)-sinh^2(t)=1
和性质t>0对于所有的t。
双曲函数是带有复周期2πi的周期函数。
参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点(cosht,sinht)的直线之间的面积的两倍。
函数coshx是关于y轴对称的偶函数。
函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x且sinh0=0。
与三角函数的关系
双曲函数与三角函数有如下的关系:
*sinhx=-i*sin(i*x)
*coshx=cos(i*x)
*tanhx=-i*tan(i*x)
*cothx=i*cot(i*x)
*sechx=sec(i*x)
*cschx=i*csc(i*x)
i为虚数单位,即i*i=-1
恒等式
与双曲函数有关的恒等式如下:
cosh^2(x)-sinh^2(x)=1
*加法公式：
sinh(x+y)=sinh(x)*cosh(y)+cosh(x)*sinh(y)
cosh(x+y)=cosh(x)*cosh(y)+sinh(x)*sinh(y)
tanh(x+y)=[tanh(x)+tanh(y)]/[1+tanh(x)*tanh(y)]
*二倍角公式：
sinh(2x)=2*sinh(x)*cosh(x)
cosh(2x)=cosh^2(x)+sinh^2(x)=2*cosh^2(x)-1=2*sinh^2(x)+1
*半角公式：
cosh^2(x/2)=(cosh(x)+1)/2
sinh^2(x/2)=(cosh(x)-1)/2
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。osborn'srule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x)*sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
*三倍角公式：
sin(3*x)=3*sin(x)−4*sin(2*x)
sinh(3*x)=3*sinh(x)+4*sinh(2*x)
*减法公式：
cos(x−y)=cosh(x)*cosh(y)+sin(x)*sin(y)
cosh(x−y)=cosh(x)*cosh(y)−sinh(x)*sinh(y)
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数.它们的定义为:
arsinh(x)=ln[x+sqrt(x^2+1)]
arcosh(x)=ln[x±sqrt(x^2-1)]
artanh(x)=ln[sqrt(1-x^2)/(1-x)]=ln[(1+x)/(1-x)]/2
arcoth(x)=ln[sqrt(x^2-1)/(x-1)]=ln[(x+1)/(x-1)]/2
arsech(x)=±ln[1+sqrt(1-x^2)/x]
arcsch(x)=ln[1-sqrt(1+x^2)/x],如果x<0
ln[1+sqrt(1+x^2)/x],如果x>0
其中,
sqrt为squareroot的缩写,即平方根
悬链线(catenary)
形如y=acosh(x/a)(a为常数)的函数的图象又叫悬链线,可以由柔软的绳子得到,有点象抛物线,但其实两者差距很大.据说莱布尼兹(leibniz)于1690年最先解出悬链线方程,惠更斯(huygens)和伯努利兄弟(jacobbernoulli,johannbernoulli)随其后.惠更斯在1691年把悬链线命名为catenary.
悬链线与抛物线有这样的关系:悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹.悬链线的顶点的渐开线是曳物线(tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线,悬链线绕准线旋转形成的曲面叫做悬链面.