·ii.二次函数的三种表达式
·iii.二次函数的图像
·iv.抛物线的性质
·v.二次函数与一元二次方程
i.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
ii.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点p（h，k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点a（x₁，0）和b（x₂，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
______
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
iv.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点p，坐标为
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，p在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，p在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
v.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
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1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
对称轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点a(x₁，0)和b(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离ab=|x₂-x₁|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－a|（a为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例
1．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )
(a)直线x=1 (b)直线x=-1 (c)直线x=2 (d)直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项a正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选a．
2．(北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与y轴两交点分别是a(x1，0)，b(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4-x1即：x1+x2=8 ①
∵s△abc=3，∴(x2-x1)·|ax1x2|=3，
即：x2-x1= ②
①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即：y=x2-x+1或y=-x2+x-1或y=x2-x+3或y=-x2+x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为a(5，0)，b(3，0)。再由题设条件求出a，看c是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．(河北省)如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于a、b两点，交y轴于点c，则△abc的面积为( )
a、6 b、4 c、3 d、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知c点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以a、b两点之间的距离为2。那么△abc的面积为3，故应选c。
图13-28
6．(安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
(2)第10分时，学生的接受能力是什么？
(3)第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13；13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
(3)x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．(河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500╟(55╟50)×10=450(千克)，所以月销售利润为
:(55╟40)×450=6750(元)．
(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500╟(x╟50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x╟40)元，所以月销售利润为：
y=(x╟40)[500╟(x╟50)×10]=(x╟40)(1000╟10x)=╟10x2+1400x╟40000(元)，
∴y与x的函数解析式为：y=╟10x2+1400x╟40000．
(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴╟10x2+1400x╟40000=8000，
即：x2╟140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500╟(60╟50)×10=400(千克)，月销售成本为：
40×400=16000(元)；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500╟(80╟50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：
40×200=8000(元)；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．