一、基本概念
1、第一型曲面积分的定义
设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数。把分割为n个小曲面i（s),,(zyxfsssni,,1l=）
，以记小块曲面的面积，分割t的细度isΔ{}的直径inist≤≤=1max，在上任取一点)is,,iiiςηξ（（ni,,1l=），若极限iniiiitsfΔ∑=→10),,(limςηξ
存在，且与分割t与),,iiiςηξ（（）的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作。ni,,1l=),,(zyxfs∫∫sdszyx,(f,)
2、第一型曲面积分的计算
定理1设有光滑曲面：，s),(yxzz=dyx∈),(，为上的连续函数，则),,(zyxfsdxdyzzyxzyxfdszyxfdyxs∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(
3、第二类曲面积分的计算
定理2设r是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有s),(yxzz=xydyx∈),(ssz
dxdyyxzyxfdszyxfxyds∫∫∫∫=)),(,,(),,(
4、gauss公式
定理3设空间区域v由分片光滑的双侧封闭曲面围成。若函数sp，q，r在v上连续，且有一阶连续偏导数，则：∫∫∫∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂svrdxdyqdzdxpdydzdxdydzzryqxp)(
其中取外侧。s
5、stokes公式
定理4设是r3中的光滑曲面，的边界ssl是了按段光滑的连续曲线。若函数p，q，r在v上连续，且有一阶连续偏导数，则：∫∫∂∂∂∂∂∂srqpzyxdxdydzdxdydz=。∫∂++drdzqdypdx
二、基本方法
1、利用dxdyzzyxzyxfdszyxfdyxs∫∫∫∫++=221)),(,,(),,(和两个公式计算第一型和第二型曲面积分；dxdyyxzyxfdszyxfxyds∫∫∫∫=)),(,,(),,(
2、利用gauss公式计算三维积分；
3、利用stokes公式计算曲面积分。
三、基本要求
1、掌握求第一型和第二型曲面积分的方法；
2、会用gauss公式和stokes公式计算曲面积分。
四、典型例题
例1求，其中是上半球面，。∫∫++sdszyx)(s2222azyx=++0≥z
解根据对称性，＝＝0，只要计算即可。由∫∫sxds∫∫syds∫∫szds222yxaz−−=，222yxaxzx−−−=，222yxayzy−−−=，所以。3222)(adxdyadszyxayxsπ==++∫∫∫∫≤+
例2计算，其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向。∫∫+++++sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(s
解分析：观察积分结构及曲面的图形知，szyx、、两两对称，由对称性知，只需计算其中之一即可。
由∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxs
8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy
故＝∫∫+++++sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×＝。24
例3证明：若为封闭曲面，为任何固定方向，则sl0),cos(=∫∫sdsln，其中为曲面外法线方向。ns
证设n和l的方向余弦为αcos，βcos，γcos和，，，则＋＋，所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=ssdsln(),cos('coscosαα＋＋）'coscosββ'coscosγγdsdxdydzdxdydzs'''coscoscosγβα++=∫∫外
又因l的方向固定，，，都是常数，故'cosα=p'cosβ=q'cosγ=r0=∂∂+∂∂+∂∂zryqxp，由奥高公式，
原式∫∫∫∫∫=++=vsrdxdyqdzdxpdydz(zryqxp∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=。
五、自测题
1．利用高斯公式求下列积分：
1)222sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中
(a)为立方体0,s,xyza≤≤的边界曲面外侧；
(b)为锥面s222(0)xyzzh+=≤≤，下侧．
2)333sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，其中是单位球面的外侧；s
3）设是上半球面s22zaxy=−−2的上侧，求
(a)sxdydzydzdxzdxdy++∫∫，
(b)()()22222sxzdydzxyzdzdxxyyzdxdy+−++∫∫；
4)()()()222222sxyzdydzyzxdzdxzxydxdy−++−++−+∫∫，是s
()()()2222xaybzc−+−+−=r的外侧．
2．用斯托克斯公式计算下列积分：
1)∫++l32zdzdydxyx，其中
(a)l为圆周，方向是逆时针，222,xyaz+==0
(b)l为所交的椭圆，从轴正向看去，按逆时针方向；221,yzx+==yx
2)∫−+−+−l)()()(dzyxdyxzdxzy，其中l是从(),0,0a经()0,,0a至()0,0,a回到(),0,0a
三角形；
3)∫+++++l222222)()()(dzyxdyxzdxzy，其中
(a)l为1xyz++=与三坐标轴的交线，其方向与所围平面区域上侧构成右手法则，
(b)l是曲线，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则；222222,2(0,0)xyzrxxyrxrrz++=+=<<>
4)∫++lxdzzdyydx，l是，从轴正向看去圆周是逆时针方向．2222,0x+y+z=ax+y+z=x
3．计算高斯积分
()2cos,sdsrrn∫∫
其中为简单封闭光滑曲面，为曲面上在点sns(),,ξηζ处的外法向，()()(),xyzrrijkrξηζ=−+−+−=．试对下列两种情形进行讨论：
1）曲面包围的区域不含s(),,xyz点；
2）曲面包围的区域含(s),,xyz点．
4．求证：()dsnrrdxdydzsv∫∫∫∫∫=,cos21，其中是包围v的分片光滑封闭曲面，为的外法线方向．snsr=(),,xyz,rr=．分下列两种情形讨论：(1)中不含原点（0，0，0）；(2)中含原点（0，0，0）时，令vvlim0vvvdxdydzdxdydzrrεε−=+→∫∫∫∫∫∫，其中vε是以原点为心，以ε为半径的球．
5．利用高斯公式变换以下积分：
(1)sxydxdyxzdzdxyzdydz++∫∫；(2)coscoscossuuudsxyzαβγ⎛⎞∂∂∂++⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫，
其中cosα，cosβ，cosγ是曲面的外法线方向余弦．
6．设是具有二阶连续偏导数的函数，并设()(,,,uxyvxy)
2222uuuxy∂∂Δ=+∂∂．
证明luudxdydsnσ∂Δ=∂∫∫∫。其中σ为闭曲线所围的平面区域，l,uvnn∂∂∂∂为沿l外法线的方向导数．
7．设222222,uuuuxyz∂∂∂Δ=++∂∂∂
s是v的边界曲面，证明：
(1)vsuudxdydzdsn∂Δ=∂∫∫∫∫∫；
(2)222svvuuuuudsdxdydzuudxdydznxyz⎡⎤⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞=+++Δ⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫．
式中u在v及其边界曲面上有连续的二阶偏导数，sun∂∂为沿曲面的外法线的方向导数．s
8．计算下列曲面积分：
(1)()()()22222sxydydzyzdzdxzyxdxdy−+−+−∫∫，其中是s2222221xyzabc++=下侧；(0z≥)
(2)()()()coscoscos,sxydydzyzdzdxzxdxdys+++++∫∫是立体Ω的边界面，而立体Ω由1xyz++=和三坐标面围成；
(3)sdsfn⋅∫∫，其中333,xyzfijk=++n是的外法向，s为s2222x+y＋z=a(z≥0)上侧；
(4)3333233222,sxyzyzdydzzxdzdxxydxdysabc⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫∫是2222221xyzabc++=后侧．(0x≥)
9．证明由曲面所包围的体积等于s()1coscoscos3svxyzαβγ=++∫∫ds
式中cosα，cosβ，cosγ为曲面的外法线的方向余弦．s
10．设有连续偏导数，且对任意光滑闭曲面，有,,pqrs
0spdydzqdzdxrdxdy++=∫∫
证明0pqrxyz∂∂∂++=∂∂∂．
11．设在全平面上有连续偏导数，而且以任意点()(,,,pxyqxy)()00,xy为中心，以任意正数为半径的上半圆l：r00cos,sinxxryyrθθ=+=+(0)θπ≤≤，恒有
()(),,lpxydxqxydy0+=∫
求证：(),0,qpxy0
x∂≡≡∂．