在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形!!!这个由三个等边三角形中心构成的三角形称外拿破仑三角形。

证明：设三角形abc对应边外的正三角形的中心分别为d，e，f，

则：∠fab=∠fba=∠dbc=∠dcb=∠eac=∠eca=30

在多边形afbdce中作一点g,使ag=af,ge=dc,

连gf,ga,ge,

因△abf,△bcd,△ace均为底角等于30度的等腰三角形,

所以:△abf∽△bcd∽△ace

af/ab=ae/ac=dc/bc

而ag=af,ge=dc

所以,ag/ab=ae/ac=ge/bc,

△age∽△abc

∠gae=∠bac,∠age=∠abc

∠fag=∠eaf-∠gae=∠eaf-∠bac=60

△agf为等边三角形

ag=af,∠agf=60,

在△fbd和△fge中，

fb=fg,bd=ge,∠fbd=∠fge

△fbd≌△fge,(s.a.s)

fd=fe

同理可证:fd=de

则△def为等边三角形<证毕>
这个

如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，称内拿破仑三角形
证明过程同上，完全相同。