向量空间（vectorspace），线性代数概念，解析几何中平面v2，空间v3的推广。在取定坐标系后，平面上的点可由实数对（a，b）表示，空间的点可由三元实数组(a，b，c)表示。推广之，考虑数域f的n元数组集fn＝｛（a1，…，an）｜ai∈f，i＝1，2，…，n｝，fn对矩阵的加法及数乘做成的代数系称为f上的一个n维向量空间或n维线性空间，fn中的元素称为向量。类似于在v3的任一坐标系下，每个向量有唯一的坐标，fn中每个向量a＝（a1，…，an）可由e1＝（1，0，…，0），e2＝（0，1，…，0），…，en＝（0，0，…，1）唯一地表示：a＝a1e1＋…＋anen。e1，…，en称为fn的一个基，n称为fn的维数，（a1，…，an）称为a关于基e1，…，en的坐标。向量空间的定义还可以一般化，若v是一个非空集合，v有加法，数域f对v有数乘法，且这两种运算满足一定条件，则称v是f上的向量空间，v的元素称为向量。若a1，…，an，β∈v，l1，…，ln∈f，β＝l1α1＋…＋lnan，则称β可由a1，…，an线性表示，若存在不全为0的l1，…，ln，使l1a1＋…＋lnan，为零向量，则称a1，…，an线性相关，否则，称a1，…，an线性无关。若v中每个向量可由a1，…，an唯一地表示，则称a1，…，an为v的一个基，n称v的维数。f上每个n维向量空间与fn有相同的代数性质，即它们同构。向量空间讨论向量间线性关系，子空间及空间分解等。数学中凡讨论线性问题时，可利用向量空间的观点。