1849年，波林那克提出孪生素数猜想（theconjectureoftwinprimes），即猜测存在无穷多对孪生素数。
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个至今都未解决的数学难题.一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初,德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为:
s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个,那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的,即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年,挪威数学家布隆仿照欧拉的方法,求所有孪生素数的倒数和:
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果也能证明这个和比任何数都大,就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好,可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数,现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现,对于任何一个给定的整数m,都可以找到m个相邻素数,其中没有一个孪生素数.
1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。
若用p(x)表示小于x的孪生素数对的个数.下表是1011以下的孪生素数分布情况:
xp(x)
100035
10000205
1000001224
10000008169
1000000058980
100000000440312
10000000003424506
1000000000027412679
100000000000224376048
迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是一九六六年由已故的我国数学家陈景润(顺便说一下，美国数学学会在介绍goldston和yildirim成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是“伟大的中国数学家陈”)利用筛法(sievemethod)所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数p,使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果和他关于goldbach猜想的结果很类似。目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。
证明孪生素数猜想的另一类结果是估算性的，goldston和yildirim所取得的结果也属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔，更确切地说是：
Δ:=limn→∞inf[(pn+1-pn)/ln(pn)]
翻译成白话文，这个表达式定义的是两个相邻素数之间的间隔与其中较小的那个素数的对数值之比在整个素数集合中所取的最小值。很显然孪生素数猜想如果成立，那么Δ必须等于0，因为孪生素数猜想表明pn+1-pn=2对无穷多个n成立，而ln(pn)→∞，因此两者之比的最小值对于孪生素数集合(从而对于整个素数集合也)趋于零。不过要注意Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而不是充分条件。换句话说如果能证明Δ≠0则孪生素数猜想就不成立，但证明Δ=0却并不意味着孪生素数猜想就一定成立。
对于Δ最简单的估算来自于素数定理。按照素数定理，对于足够大的x,在x附近素数出现的几率为1/ln(x)，这表明素数之间的平均间隔为ln(x)(这也正是Δ的表达式中出现ln(pn)的原因)，从而(pn+1-pn)/ln(pn)给出的其实是相邻素数之间的间隔与平均间隔的比值，其平均值显然为1。平均值为1，最小值显然是小于等于1，因此素数定理给出Δ≤1。
对Δ的进一步估算始于hardy和littlewood。一九二六年，他们运用圆法(circlemethod)证明了假如广义riemann猜想成立，则Δ≤2/3。这一结果后来被被rankin改进为Δ≤3/5。但是这两个结果都有赖于本身尚未得到证明的广义riemann猜想，因此只能算是有条件的结果。一九四零年，erd鰏利用筛法首先给出了一个不带条件的结果：Δ<1(即把素数定理给出的结果中的等号部分去掉了)。此后ricci于一九五五年，bombieri和davenport于一九六六年，huxley于一九七七年，分别把这一结果推进到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及Δ≤0.4425。goldston和yildirim之前最好的结果是maier在一九八六年取得的Δ≤0.2486。
以上这些结果都是在小数点后做文章，goldston和yildirim的结果把这一系列的努力大大推进了一步，并且-如果得到证实的话-将在一定意义上终结对Δ进行数值估算的长达几十年的征途，因为goldston和yildirim证明了Δ=0。当然如我们前面所说，Δ=0只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充份条件，因此goldston和yildirim的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。
一旦Δ=0被证明，人们的注意力自然就转到了研究Δ趋于0的方式上来。孪生素数猜想要求Δ~[log(pn)]-1(因为pn+1-pn=2对无穷多个n成立)。goldston和yildirim的证明给出的是Δ~[log(pn)]-1/9，两者之间还有相当距离。但是看过goldston和yildirim手稿的一些数学家认为goldston和yildirim所用的方法明显存在改进的空间，也就是说对Δ趋于0的方式可以给出更强的估计。因此goldston和yildirim的证明其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。这种系列研究对于数学来说有着双重的价值，因为一方面这种研究所获得的新结果是对数学的直接贡献，另一方面这种研究对goldston和yildirim的证明会起到反复推敲和核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。以前四色定理和fermat大定理都曾有过一个证明时隔几年(甚至十几年)才被发现错误的例子。因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点，吸引其它数学家的参与对于最终判定该结果的正确性具有极其正面的意义。