托勒密(ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

托勒密定理的推论：任意凸四边形abcd，必有ac·bd≤ab·cd+ad·bc，当且仅当abcd四点共圆时取等号。
证明如下：在四边形abcd中,连接ac,作角abe=角acd,角bae=角cad
则三角形abe和三角形acd相似
所以be/cd=ab/ac,即be*ac=ab*cd(1)
又有比例式ab/ac=ae/ad
而角bac=角dae
所以三角形abc和三角形aed相似.
bc/ed=ac/ad即ed*ac=bc*ad(2)
(1)+(2),得
ac(be+ed)=ab*ce+ad*bc
又因为be+ed>=bd
所以命题得证

托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆


推广及证明

*托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
o简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式，分析等号成立的条件。
o四点不限于同一平面。

在一条线段上ad上，顺次标有b、c两点，则ad*bc+ab*cd=ac*bd