·定义和相关符号
·特殊矩阵类别
·矩阵运算
·其他性质
·注记
来源
矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。把用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组。
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
来说，我们可以构成两个矩阵：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。请参考矩阵理论。
历史
矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德•威廉•莱布尼茨建立了行列式论(theoryofdeterminants)。1750年，加布里尔•克拉默其后又定下了克拉默法则。1800年代，高斯和威廉•若尔当建立了高斯—若尔当消去法。
1848年詹姆斯•约瑟夫•西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉•卢云•哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯•诺伊曼。
定义和相关符号以下是一个4×3矩阵：
某矩阵a的第i行第j列，或i,j位，通常记为a[i,j] 或ai,j。在上述例子中a[2,3]=7。
在c语言中，亦以a[j]表达。(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在c中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外a=(aij)，意为a[i,j]=aij对于所有i及j，常见于数学著作中。
一般环上构作的矩阵
给出一环r，m(m,n,r)是所有由r中元素排成的m×n矩阵的集合。若m=n，则通常记以m(n,r)。这些矩阵可加可乘(请看下面)，故m(n,r)本身是一个环，而此环与左r模rn的自同态环同构。
若r可置换，则m(n,r)为一带单位元的r-代数。其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在r内可逆。
在维基百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵
可分割成4个2×2的矩阵。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如vlsi芯片设计等。
特殊矩阵类别对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称,即是ai,j=aj,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,即是ai,j=a*j,i。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对,是ai,j=ai+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量,用于马尔可夫链。
矩阵运算
给出m×n矩阵a和b，可定义它们的和a+b为一m×n矩阵，等i,j项为(a+b)[i,j]=a[i,j]+b[i,j]。举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵a及一数字c，可定义标量积ca，其中(ca)[i,j]=ca[i,j]。例如
这两种运算令m(m,n,r)成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如a是m×n矩阵和b是n×p矩阵，它们是乘积ab是一个m×p矩阵，其中
(ab)[i,j]=a[i,1]*b[1,j]+a[i,2]*b[2,j]+...+a[i,n]*b[n,j]对所有i及j。
例如
此乘法有如下性质：
(ab)c=a(bc)对所有k×m矩阵a,m×n矩阵b及n×p矩阵c("结合律").
(a+b)c=ac+bc对所有m×n矩阵a及b和n×k矩阵c("分配律")。
c(a+b)=ca+cb对所有m×n矩阵a及b和k×m矩阵c("分配律")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵a及b使得ab≠ba。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
其他性质
线性变换，秩，转置
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以rn表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f:rn->rm都存在唯一m×n矩阵a使得f(x)=ax对所有x∈rn。这矩阵a"代表了"线性变换f。今另有k×m矩阵b代表线性变换g:rm->rk，则矩阵积ba代表了线性变换gof。
矩阵a代表的线性代数的映像的维数称为a的矩阵秩。矩阵秩亦是a的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵a的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵atr（亦纪作at或ta），即atr[i,j]=a[j,i]对所有iandj。若a代表某一线性变换则atr表示其对偶算子。转置有以下特性：
(a+b)tr=atr+btr，(ab)tr=btratr。
注记矩阵可看成二阶张量，因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。