category:数论


二次互反律是经典数论中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩余的概念。设a,b是两个非零整数,我们定义雅克比符号(a/b)：如果存在整数x,使得b整除（x^2-a）,那么就记(a/b)=1;否则就记（a/b）=-1。在b是素数是这个符号也叫做勒让德符号。

高斯二次互反律：
设p和q为不同的奇素数，则(p/q)(q/p)=(−1)^[(p−1)(q−1)/4]

二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩馀的判别问题。高斯在1796年作出第一个严格的证明，随後他又发现了另外七个不同的证明。高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。”

高斯之後雅克比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛比纽斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有150个不同的的证明。二次互反律可以推广到高次互反律。

二次互反律被称为“数论之酿母”，在数论中处于极高的地位。后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。